如图.在△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.点D为射线BC上一点.连结AD.以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．①当点D在线段BC上时.如图1.线段CF.BD所在直线的位置关系为CF⊥BD.线段CF.BD的数量关系为CF=BD,②当点D在线段BC的延长线上时.如图2.①中的结论是否仍然成立.请说明理由,③在第②问的前提下.若AB=AC=2$\sqrt{2}$.tan� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，线段CF、BD所在直线的位置关系为CF⊥BD，线段CF、BD的数量关系为CF=BD；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
③在第②问的前提下，若AB=AC=2$\sqrt{2}$，tan∠AFC=$\frac{2}{3}$，求正方形ADEF的面积．

分析 ①证明△ABD≌△ACF，则CF=BD，∠B=∠ACF，即可证得∠BCF=90°，从而证得；
②与①证明方法完全相同；
③作AM⊥BC于点M，根据△ABC是等腰直角三角形即可求得AM的长，然后根据△ABD≌△ACF证明∠ADB=∠AFC，在直角△ADM中利用三角函数求得DM，然后利用勾股定理求得AD的长，则正方形的面积即可求得．

解答解：①∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
∴在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
又∵直角△ABC中，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即∠BCF=90°，
∴CF⊥BD．
故答案是：CF⊥BD，CF=BD；
②仍成立．
理由是：同①可证△ABD≌△ACF，
则CF=BD，∠B=∠ACF，
又∵直角△ABC中，∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；
③作AM⊥BC于点M．
∵直角△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
∴tan∠ADB=$\frac{AM}{DM}$=tan∠AFC=$\frac{2}{3}$，
∴DM=3，
∴在直角△ADM中，AD=$\sqrt{A{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴S_{正方形ADEF}=AD²=13．