Question

如图△ABC和△AEF中，AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF，FC，BE交于M，连接AM。
①如图1，若∠BAC=∠EAF=90°，则∠AME= _________ ；
②如图2，若∠BAC=∠EAF=60°，则∠AME= _________ ；
③如图3，若∠BAC=∠EAF=α，则∠AME= _________ ，请证明你的结论。

Answer 1

解：①∵∠BAC=∠EAF，
∴∠FAC=∠EAB，
∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∵∠ACF=∠ABE，
∴点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB=∠ACB，而∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠AME=180°-45°=135°，
故答案为135°；
②与①证明方法一样得到∠AMB=∠ACB，而∠BAC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠AME=180°-60°=120°，
故答案为120°；
③∠AME=90°+α，
理由如下：∵∠BAC=∠EAF=α，
∴∠FAC=∠EAB，
又∵AB=AC，AF=AE，
∴△AFC≌△AEB，
∵∠ACF=∠ABE，
∴点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=（180°-α?）=90°-α，
∴∠AMB=90°-α，
∴∠AME=180°-（90°-α）=90°+α。