Question

如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以B为中心，将三角形ABC顺时针旋转，使得点A落在边CB延长线上的A₁点，此时点C落在点C₁的位置，连接AA₁，CC₁，相交于点O，CC₁交AB于D，AA₁交BC₁于E，则（S_△AOD+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_△CBD）=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先利用旋转性质以及三角形面积求法得出S_△ABA1与S_△CBC1面积，再利用S_△ABA1-S_△CBC1=（S_△AOD+S_{四边形ODBE}+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_{四边形ODBE}+S_△CBD），=（S_△AOD+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_△CBD），进而求出即可．

解答：解：过点C₁作C₁F⊥BA₁于点F，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以B为中心，将三角形ABC顺时针旋转，
使得点A落在边CB延长线上的A₁点，此时点C落在点C₁的位置，
∴AB=AB₁=

32+42

=5，AC=A₁C₁=3，BC=BC₁=4，
∵BA₁•FC₁=BC₁•C₁A₁，
∴5FC₁=3×4，
∴FC₁=

12

5

，
∴S_△CBC1=

1

2

BC•C₁F=

1

2

×4×

12

5

=

24

5

=4.8，
S_△ABA1=

1

2

AC•BA₁=

1

2

×3×5=

15

2

=7.5，
∵S_△ABA1-S_△CBC1
=（S_△AOD+S_{四边形ODBE}+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_{四边形ODBE}+S_△CBD）
=（S_△AOD+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_△CBD）
=7.5-4.8
=2.7．
故答案为：2.7．

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及旋转的性质和面积等积变换等知识，根据已知得出S_△ABA1-S_△CBC1=（S_△AOD+S_△A1BE）-（S_△C1OE+S_△CBD）是解题关键．