Question

7．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
（1）求证：△ADC≌△A′DC；
（2）试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ADC≌△A′DC即可；
（2）根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，得∠CDA′=∠CDA=75°，得∠BDA′=30°=∠B，则DA′=BA′，BA′=AD，从而得出BC=AC+AD．

解答 解：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=CA}\\{∠ACD=∠A′CD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）BC=AC+AD；
理由如下：
由（1）得：△ADC≌△A′DC，
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，CA′=CA，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，
∴∠BDA′=30°=∠B，
∴DA′=BA′，
∴BA′=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD．

点评 本题考查了几何图形变换的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．