Question

5．实验室里，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2，用一个管子在甲、乙两个容器的15厘米高度处连通（即管子底端离容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如图所示．现同时向甲、乙两个容器注水，平均每分钟注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均为正整数，当甲、乙两个容器的水位都到达连通管子的位置时，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，设注水时间为t分钟．
（1）求k的值（用含a的代数式表示）．
（2）当甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米时，求t的值．
（3）当甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米时，求a，k，t的值．

Answer 1

分析 （1）根据“开始注水1分钟，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米”，即可得出a、k之间的关系式，变形后即可得出结论；
（2）根据两容器水位间的关系列出a、k、t的代数式，将（1）的结论代入其内整理后即可得出结论；
（3）由（1）中的k=4-$\frac{4}{a}$结合a、k均为正整数即可得出a、k的值，经检验后可得出a、k值合适，再将乙容器内水位上升的高度转换成甲容器内水位上升的高度结合水位上升的总高度=单位时间水位上升的高度×注水时间即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意得：a+1=2+$\frac{ak}{4}$，
解得；k=4-$\frac{4}{a}$．
（2）根据题意得：at=1+2+$\frac{akt}{4}$，
∵k=4-$\frac{4}{a}$，
∴at=3+$\frac{at}{4}$（4-$\frac{4}{a}$）=3+at-t，
∴t=3．
（3）∵k=4-$\frac{4}{a}$，且a、k均为正整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$．
∵a＜$\frac{15}{3}$=5，k＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$符合题意．
①当$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$时，15+（14-2）×4=at+akt=2t+4t，
解得：t=$\frac{21}{2}$；
②当$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$时，15+（14-2）×4=at+akt=4t+12t，
解得：t=$\frac{63}{16}$．
综上所述：a、k、t的值为2、2、$\frac{21}{2}$或4、3、$\frac{63}{16}$．

点评 本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据两容器半径及注水量的关系列出代数式是解题的关键．