Question

3．如图，顶角为120°的等腰△ABC的腰长为6，P为底边BC上一点，且BP=2PC，含30°、60°的直角三角板中30°角的顶点落在点P上，三角板绕P点旋转且始终交△ABC的两腰于E、F两点．
（1）求证：△BEP∽△CPF；
（2）若EF∥BC，试求AF的长．

Answer 1

分析 （1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BEP=150°-∠BPE，∠CPF=150°-∠BPE，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=3，解直角三角形得到BD=3$\sqrt{3}$，求得BC=6$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到BE•FC=2PC²，得到FC=$\sqrt{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BEP=180°-∠B-∠BPE=150°-∠BPE，
∠CPF=180°-∠EPF-∠BPE=150°-∠BPE，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；
（2）解：过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴BD=3$\sqrt{3}$，
∴BC=6$\sqrt{3}$，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BP}{FC}$=$\frac{BE}{PC}$，
∴BE•FC=2PC²，
∵EF∥BC，AB=AC，
∴BE=CF，
∴FC²=2PC²，
∴FC=$\sqrt{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{6}$，
∴AF=AC-FC=6-2$\sqrt{6}$．

点评 此题考查相似的综合题．关键是根据相似三角形的判定和性质解题，它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．