如图.已知点A的坐标为.AC⊥x轴于点M.交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点.∠APB=30°.BA⊥PA.若点P从点O出发.在线段ON上向点N运动时.B点也随之运动．(1)当点P与点O重合时.求点B的初始位置B0的坐标,(2)点P开始运动后.点B也随之运动.求证:△AOP∽△AB0B,(3)当点P从点O运动到点N时.求点B的运动路线所在的直线的函数解析式.并求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，已知点A的坐标为（3，3$\sqrt{3}$），AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，若点P从点O出发，在线段ON上向点N运动时，B点也随之运动．
（1）当点P与点O重合时，求点B的初始位置B₀的坐标；
（2）点P开始运动后，点B也随之运动，求证：△AOP∽△AB₀B；
（3）当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路线所在的直线的函数解析式，并求出点B的运动的路径长．

分析（1）首先，需要证明线段B₀B_n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出线段B₀B_n的长度，即点B运动的路径长．
（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据勾股定理，可得到答案．

解答解：（1）如图：
，
AO=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=6，tan∠AOM=$\frac{AM}{OM}$=$\sqrt{3}$，
∠AOM=60°．
∵∠AOB₀=30°，BA⊥PA，
∴B₀O=$\frac{AO}{cos∠AO{B}_{0}}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴∠B₀OM=30°．
OE=B₀O•cos30°=4$\sqrt{3}$，B₀E=B₀O•sin30°=2$\sqrt{3}$，
B₀（4$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；
（2）如图2：
，
∵∠OAB₀=∠PAB=90°
∴∠OAP=∠BAB₀．
∵tan∠AOB₀=$\frac{A{B}_{0}}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠APB=$\frac{AB}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{A{B}_{0}}{AO}$=$\frac{AB}{AP}$，
$\frac{AO}{AP}$=$\frac{A{B}_{0}}{AB}$，
∴△AOP∽△AB₀B；
（3）∵△AOP∽△AB₀B，
∴BB₀是一条线段，
∵OM=MP=3，
∴P（3，-3），AP=3$\sqrt{3}$+3．
AB=AP•tan30°=3+$\sqrt{3}$，
B（（6+$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$），
设BB₀的解析式为y=kx+b，
将B、B₀点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{（6+\sqrt{3}）k+b=3\sqrt{3}}\\{4\sqrt{3}k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\{b=8+4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
BB₀的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$x+8+4$\sqrt{3}$，
BB₀=$\sqrt{（6+\sqrt{3}-4\sqrt{3}）^{2}+（3\sqrt{3}-2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{66+36\sqrt{3}}$．