Question

11．△ABC的两条高AD、BE所在的直线相交于H，若CD=DH．则∠ABC的度数为45°或135°．

Answer 1

分析 根据同角的余角相等求出∠CAD=∠HBD，再利用“角角边”证明△ACD和△BHD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BD，然后判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即可．

解答 解：如图1，∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠HBD}\\{∠ADC=∠BDH=90°}\\{CD=DH}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BHD（AAS），
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
如图2，∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠CAD+∠C=∠HBD+∠C，
∴∠CAD=∠HBD，
在△ACD和△BHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠HBD}\\{∠ADC=∠BDH=90°}\\{CD=DH}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BHD（AAS），
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=135°，
故答案为：45°或135°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键．