Question

关于x的方程4kx²+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于x的方程4kx²+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程4kx²+4（k+2）x+k=0的两根分别为x₁、x₂，由根与系数关系有：x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果．

解答：解：（1）由△=[4（k+2）]²-4×4k•k＞0，
∴k＞-1
又∵4k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1，且k≠0；

（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程4kx²+4（k+2）x+k=0的两根分别为x₁、x₂，
由根与系数关系有：
x₁+x₂=-

k+2

k

，x₁•x₂=

1

4

，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

4(k+2)

k

=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2时，△＜0，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题时将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．