Question

如图，⊙O的直径AB=4，AC是弦，沿AC折叠劣弧

AC

，记折叠后的劣弧为

AmC

．

（1）如图1，当

AmC

经过圆心O时，求AC的长；
（2）如图2，当

AmC

与AB相切于A时，①画出

AmC

所在圆的圆心P；②求AC的长；
（3）如图3，设

AmC

与直径AB交于D，DB=x，试用x的代数式表示AC（直接写出结果）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）作半径OE⊥AC于F，如图1，根据折叠的性质得OF=

1

2

OE=1，由OE⊥AC，根据垂径定理得AF=CF，再在Rt△OAF中，利用勾股定理计算出AF=

3

，所以AC=2AF=2

3

；
（2）①由于

AmC

与AB相切于A点，根据切线的性质AB垂直过A点的半径，所以作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；
②连结PC、OC，易证得四边形PAOC为菱形，加上∠PAO=90°，所以四边形PAOC为正方形，根据正方形的性质得AC=

2

OA=2

2

；
（3）设弧AMC所在圆的圆心为P，作PH⊥AB于H，连结OP、PD、BC，如图3，由AB=4，BD=x得AD=4-x，根据垂径定理由PH⊥AD得到AH=DH=

1

2

AD=2-

1

2

x，则OH=OA-AH=

1

2

x，利用勾股定理得PH=

PA2-AH2

=

2x- 1 4 x2

，OP=

PH2+OH2

=

2x

，再根据折叠的性质得到OP⊥AC，由圆周角定理得到∠ACB=90°，所以OP∥BC，得到∠POH=∠CBA，可证得Rt△ACB∽Rt△PHO，然后利用相似比得到AC=

4• 2x- 1 4 x2

2x

，再进行二次根式的化简即可．

解答：解：（1）作半径OE⊥AC于F，如图1，
∵沿AC折叠劣弧

AC

，记折叠后的劣弧为

AmC

．
∴OF=

1

2

OE=

1

2

×2=1，
∵OE⊥AC，
∴AF=CF，
在Rt△OAF中，OA=2，OF=1，
∴AF=

OA2-OF2

=

3

，
∴AC=2AF=2

3

；
（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2；
②连结PC、OC，
∵AP=OA=OC=PC=2，
∴四边形PAOC为菱形，
而∠PAO=90°，
∴四边形PAOC为正方形，
∴AC=

2

OA=2

2

；
（3）设弧AMC所在圆的圆心为P，
作PH⊥AB于H，连结OP、PD、BC，如图3，
∵AB=4，BD=x，
∴AD=4-x，
∵PH⊥AD，
∴AH=DH=

1

2

AD=2-

1

2

x，
∴OH=OA-AH=

1

2

x，
在Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=

2x- 1 4 x2

，
在Rt△OPH中，OP=

PH2+OH2

=

2x

，
∵沿AC折叠劣弧

AC

，记折叠后的劣弧为

AmC

，
∴OP⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OP∥BC，
∴∠POH=∠CBA，
∴Rt△ACB∽Rt△PHO，
∴

AC

PH

=

AB

PO

，
∴AC=

4• 2x- 1 4 x2

2x

=

16-2x

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质．