Question

12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式，并写出点C的坐标；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB，PC，求△PBC的面积最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后即可求得C的坐标；
（2）首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，
令x=0，则y=3，则C的坐标是（0，3）；
（2）设BC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则BC的解析式是y=-x+3．
设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，-x²+2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，-x+3）．
则PD=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x．
则S△PBC=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）•3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x²-3x+$\frac{9}{4}$）+$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，代入y=-x²+2x+3=$\frac{15}{4}$，
则P的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），此时△PBC的面积的最大值是$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解．