Question

如图，直角坐标内有一个等腰梯形ABCD，DC∥AB，A（-4，0），B（5，0），D在y轴上，C在反比例函数y=

3

x

的图象上，线段BC与图象交于E．
（1）求D点坐标；
（2）小华猜想：E点的横坐标为4．你认为他的猜想成立吗？说明理由；
（3）点P在线段AD上运动，当以A、O、P为顶点的三角形是等腰三角形时，延长OP，交直线DC于F，求梯形AFCB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）作CF⊥x轴于点F，则BF=OA=4，则OF=OB-BF=5-4=1，即可求得C的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式，把x=4代入直线BC的解析式和反比例函数的解析式，求得的纵坐标相等时成立；
（3）分当AP=OP，AP=AO和PA=PO三种情况进行讨论，利用三角形相似即可求解．

解答：解：（1）作CF⊥x轴于点F，则BF=OA=4，则OF=OB-BF=5-4=1，
在y=

3

x

中令x=1，解得：y=3，
则OD=CF=3，
则D的坐标是（0，3）；
（2）C的坐标是（1，3），
设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：

5k+b=0 k+b=3

，
解得：

k=- 3 4 b= 15 4

，
则直线CD的解析式是：y=-

3

4

x+

15

4

，
在y=-

3

4

x+

15

4

中令x=4，解得：y=3，
在y=

3

x

中，令x=4，解得：y=3，
则E点的横坐标为4正确；
（3）设直线AD的解析式是y=mx+n，根据题意得：

-4m+n=0 n=3

，
解得：

m= 3 4 n=3

，
则直线AD的解析式是y=

3

4

x+3．
当AP=OP时，P在OA的延长线上，则P的横坐标是-2，
在y=

3

4

x+3中，令x=-2时，y=

3

2

，则P的坐标是（-2，

3

2

）；
当AP=AO=4时，过P作PM⊥x轴于点M，则△APM∽△ADO，

PM

OD

=

AM

AO

=

AP

AD

=

4

5

，
则PM=

4

5

OD=

4

5

×3=

12

5

，AM=

4

5

AO=

4

5

×4=

16

5

．
则OM=4-

16

5

=

4

5

，P的坐标是（-

4

5

，

12

5

）．
当PA=PO时，则P一定不在线段AD上，此时不成立．
总之，P的坐标是（-2，

3

2

）或（-

4

5

，

12

5

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，正确求得P的坐标是关键．