Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BCA的角平分线，交AB于点O；
②以O为圆心，OB为半径作圆．
（2）在（1）所作的图中，
①AC与⊙O的位置关系是相切（直接写出答案）；
②若BC=3，AB=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的作法得出CO，进而以O为圆心，OB为半径作圆；
（2）①利用角平分线的性质和切线的判定方法得出即可；
②利用切线长定理以及勾股定理得出⊙O的半径．

解答 解：（1）如图所示：

（2）①相切；

②连接点O与AC上的切点E，设半径为x，
则AO=4-x，AE=AC-EC=AC-BC=2，
所以（4-x）²=x²+4，$x=\frac{3}{2}$
解得：x=1.5．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质以及角平分线的作法等知识，正确利用勾股定理得出圆的半径是解题关键．