Question

3． 如图，抛物线的顶点为C（1，-2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．
（1）求直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．
（3）求△ABE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB解析式；
（2）由条件可知P、E的横坐标相同，又点E在抛物线上，则可表示出E点坐标；
（3）由（2）可用x表示出PE的长，则可用x表示出△ABE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵抛物线顶点坐标为（1，-2），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²-2，
∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，当x=0时可得y=-$\frac{3}{2}$，
∴B（0，-$\frac{3}{2}$），
设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴，
∴点E的横坐标为x，
∵点E在抛物线上，
∴E点的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）；

（3）∵点P为线段AB上的一点，
∴P（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），则E（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），
∴PE=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3-x，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$PE•x+$\frac{1}{2}$PE•（3-x）=$\frac{1}{2}$PE•（x+3-x）=$\frac{3}{2}$PE=$\frac{3}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S_△ABE有最大值，最大值为$\frac{27}{16}$，
∴△ABE面积的最大值为$\frac{27}{16}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中注意E点横坐标与P点横坐标相同是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△ABE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．