Question

已知点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂是关于x的方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0的两根，当正整数a=1，2，…，2010时，分别把线段AB记为A₁B₁，A₂B₂，…，A₂₀₁₀B₂₀₁₀，则这2010条线段的总长度和为

 

．

Answer 1

分析：解关于x的方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0得x₁=

1

a

，x₂=

1

a+1

，A_aB_a=

1

a

-

1

a+1

，将a=1，2，…，2010分别代入求和．注意观察抵消规律．

解答：解：解方程（a²+a）x²-（2a+1）x+1=0得x₁=

1

a

，x₂=

1

a+1

，
∴A_aB_a=

1

a

-

1

a+1

，将a=1，2，…，2010分别代入得，
A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

，
=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案为：

2010

2011

．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．关键是通过解方程求出线段长的一般规律．