Question

20．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=2，DA=DC=$\sqrt{5}$，∠BAD=90°，DE⊥CF，试求$\frac{DE}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立，证△DFG∽△DEA，得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，证△CGD∽△CDF，得出$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，即可得出答案；
（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM²+CM²=BC²，代入得出方程（x-2）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x）²=2²，求出CN=$\frac{20}{9}$，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；

（2）当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DF}{DG}$，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$，
即当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．

（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AB=BC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{CM}{x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△CMB中，CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，BM=AM-AB=x-2，由勾股定理得：BM²+CM²=BC²，
∴（x-2）²+（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x）²=2²，
x=0（舍去），x=$\frac{20}{9}$，
CN=$\frac{20}{9}$，
∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CN}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{20}{9}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{20}$．

点评 本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．