Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）直接写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式；
（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴OA=2，CE=3．
∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（-2，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{0+b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
将点C的坐标代入，得3=$\frac{m}{-2}$，
∴m=-6．
∴该反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$．

（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
可得交点D的坐标为（6，-1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2，
△BOC的面积=4×3÷2=6，
故△OCD的面积为2+6=8；
（3）由图象得，一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围：-2＜x＜0或x＞6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．