题目内容
如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O直径，AD是高．求证：（1）∠BAE=∠DAC；
（2）AE•AD=AB•AC．
考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：（1）连接BE，则可知∠BAE+∠E=∠CAC+∠C，且∠E=∠C，可得结论；
（2）结合（1）的结论可证明△ABE∽△ADC，可得
=
，则有AE•AD=AB•AC．
（2）结合（1）的结论可证明△ABE∽△ADC，可得
| AE |
| AC |
| AB |
| AD |
解答：
证明：（1）连接BE，如图，
∵A为直径，AD是高
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠E=∠DAC+∠C，
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角），
∴∠BAE=∠DAC；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAC，且∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴
=
，
则有AE•AD=AB•AC．
证明：（1）连接BE，如图，∵A为直径，AD是高
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠E=∠DAC+∠C，
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角），
∴∠BAE=∠DAC；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAC，且∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴
| AE |
| AC |
| AB |
| AD |
则有AE•AD=AB•AC．
点评：本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，在复杂图形中能找到同弧所对的圆周角是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为