Question

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究图1中的1，3，6，10…，由于这些数据能够表示成三角形，将其成为三角形数，类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数
（1）请你写出比1大的最小的既是三角形，又是正方形的数是36；
（2）400是三角形数吗？如果是，请求出数第几个三角形？如果不是，使用一元二次方程说明理由；
（3）1225既是三角形数，又是正方形数吗？如果是，请分别求出是第几个三角形数和第几个正方形数？如果不是，请使用一元二次方程说明理由．

Answer 1

分析 （1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即$\frac{n（n+1）}{2}$；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n²，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；
（2）由（1）中规律可得$\frac{n（n+1）}{2}$=400，判断该方程有正无整数解即可；
（3）利用（1）中规律，分别列出方程求解可得．

解答 解：（1）∵正方形数点的个数是为n²，∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…，
∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三角形数点的个数是为$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵4=$\frac{n（n+1）}{2}$无正整数解，∴4不是三角形数，
∵9=$\frac{n（n+1）}{2}$无正整数解，∴9不是三角形数，
∵16=$\frac{n（n+1）}{2}$无正整数解，∴16不是三角形数，
∵25=$\frac{n（n+1）}{2}$无正整数解，∴25不是三角形数，
∵36=$\frac{n（n+1）}{2}$，解得n=8，所以36是三角形数，
∴除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是36，
故答案为：36
故答案为36；

（2）不是，
根据题意，$\frac{n（n+1）}{2}$=400，
∵方程无整数解，
∴400不是三角形数．

（3）1225既是正方形数又是三角形数，
由n²=1225可得n=35，
∴1225是第35个正方形数；
由$\frac{n（n+1）}{2}$=1225可得n=-50（舍）或n=49，
∴1225还是第49个三角形数．

点评 本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理及一元二次方程等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．