Question

10．如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$-4．

Answer 1

分析 BC交弧DE于F，连接AF，如图，先利用三角函数得到∠AFB=30°，则∠BAF=60°，∠DAF=30°，BF=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S_扇形ADF+S_△ABF-S_△ABD进行计算即可．

解答 解：BC交弧DE于F，连接AF，如图，
AF=AD=4，
∵AD=2AB=4
∴AB=2，
在Rt△ABF中，∵sin∠AFB=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AFB=30°，
∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，BF=$\sqrt{3}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形ADF+S_△ABF-S_△ABD
=$\frac{30•π•{4}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×4
=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$-4．

点评 本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=$\frac{n•π•{R}^{2}}{360}$或S_扇形$\frac{1}{2}$lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了矩形的性质．