Question

16．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5$\sqrt{3}$，若关于x的方程（5$\sqrt{3}$+b）x²+2ax+5$\sqrt{3}$-b=0有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式即可得4a²-4（5$\sqrt{3}$+b）（5$\sqrt{3}$-b）=0，得出即a²+b²=（5$\sqrt{3}$）²=c²即可判断；
（2）由三角函数及勾股定理分别求出a、b的值，即可得答案

解答 解：（1）∵关于x的方程（5$\sqrt{3}$+b）x²+2ax+5$\sqrt{3}$-b=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a²-4（5$\sqrt{3}$+b）（5$\sqrt{3}$-b）=0，
∴a²-（5$\sqrt{3}$）²+b²=0，即a²+b²=（5$\sqrt{3}$）²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵c=5$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴a=csinA=3$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=18．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式、勾股定理及其逆定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与勾股定理的逆定理是解题的关键．