Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（1）用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使P到C的距离与P到AB的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）作∠A的平分线交BC于点P即可；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，根据HL定理得出Rt△ACP≌Rt△ADP，故可得出AD，BD的长，设CP=PD=x，则PB=BC-PC=8-x，在Rt△BDP中中根据勾股定理求出x的值，同理，在Rt△ACP中根据勾股定理求出PC的值即可．

解答 解：（1）如图，点P即为所求；

（2）在Rt△ABC中，∵AB²=AC²+BC²=6²+8²=100，
∴AB=6．
∵PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PC=PD，
在Rt△ACP与Rt△ADP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=PD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD=AC=6，BD=AB-AD=4．
设CP=PD=x，则PB=BC-PC=8-x；
在Rt△BDP中，∵PB²=PD²+BD²，
∴（8-x）²=x²+4²，x=3，
∴PC=3，
在Rt△ACP中，
∵AP²=AC²+PC²=6²+3²=45，
∴AP=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法及勾股定理是解答此题的关键．