如图.Rt△ABO的两直角边OA.OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.O为坐标原点.A.B两点的坐标分别为.抛物线y=$\frac{2}{3}$x2+bx+c经过点B.且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．(1)求抛物线对应的函数关系式,(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE.点A.B.O的对应点分别是D.C.E.当四边形ABCD是菱形时.试判断点C和点D是否在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过点B，且顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标．

分析（1）利用对称轴公式求出b的值，再利用B点坐标得出c即可；
（2）利用菱形的性质得出C，D点坐标，再利用图象上点的坐标性质得出答案；
（3）首先求出CD所在直线解析式，进而轴对称得出P点位置，进而得出P点坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=$\frac{2}{3}$x²+bx+c经过B（0，4），
∴c=4，
∵顶点在直线x=$\frac{5}{2}$上，∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，则-$\frac{b}{2×\frac{2}{3}}$=$\frac{5}{2}$，
解得：b=-$\frac{10}{3}$，
∴所求的函数关系式为：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x+4；

（2）如图所示：在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=$\frac{2}{3}$×5²-$\frac{10}{3}$×5+4=4，
当x=2时，y=$\frac{2}{3}$×2²-$\frac{10}{3}$×2+4=0，
∴点C和点D都在所求抛物线上；

（3）由（2）可知，点B与点C关于对称轴对称，
设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=4}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD对应的函数关系式为：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{4}{3}$×$\frac{5}{2}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{2}{3}$）．