Question

如图，△ABP与△DCP是两个全等的等腰直角三角形，∠APB=∠DPC=90°，且PA=AD．有下列四个结论：
①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与直线AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,轴对称图形

专题：

分析：根据全等三角形对应边相等可得AP=BP=CP=DP，再判断出△ADP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠APD=60°，根据周角等于360°求出∠BPC，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可求出∠PBC=30°，判断出①错误；求出∠ABC+∠BAD=180°，根据同旁内角互补两直线平行得到AD∥BC，判断出②正确；∠ABC+∠BCP≠90°，判断出③错误；求出四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的对称性判断出④正确．

解答：解：∵△ABP与△DCP是两个全等的等腰直角三角形，
∴AP=BP=CP=DP，
有∵PA=AD，
∴AP=AD=DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD=60°，
∴∠BPC=360°-90°×2=60°=120°，
∴∠PBC=

1

2

（180°-120°）=30°，故①错误；
∵∠ABC+∠BAD=（45°+30°）+（45°+60°）=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠BCP=（45°+30°）+30°=105°≠90°，
∴直线PC与直线AB不垂直，故③错误；
∵△ABP与△DCP是两个全等的等腰直角三角形，
∴AB=CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形，故④正确；
综上所述，结论正确的是②④共2个．
故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的轴对称性，熟记各性质与判定方法并准确识图是解题的关键．