Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，A与B的坐标分别为（-4，0），（2，0），C点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A，B的坐标（-4，0），（2，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c求解即可，
（2）先求出抛物线的对称轴为直线x=-1，设直线AC与对称轴的交点为E，易求直线AC的解析式为y=

3

4

x+3，由x=-1时，求出y的值，由AB=2-（-4）=6，OC=3，由△ACB的面积=

1

2

×6×3=9，可得△ACD的面积=

1

2

DE•4=9，可得DE的值，分两种情况①点D在点E的上方时，②点D在点E的下方时，分别求解即可．
（3）过A，B分别作x轴的垂线，这两条直线总是与直线l有交点，即两个点M，再以AB为直径的⊙G如果与直线l相切，就只有一个点M，连接GM，那么GM⊥l，在RT△EGM中，求出GM，GE的值，可得EM的值，在RT△EM₁A中，由AE的值，结合tan∠M₁EA=

M1A

AE

=

3

4

，可得M₁A的值，由点M₁的坐标可得过M₁，E的直线l，再根据对称性直线l求出另一条直线．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，把A，B的坐标（-4，0），（2，0），C（0，3）代入得

0=16a-4b+c 0=4a+2b+c 3=c

，解得

a=- 3 8 b=- 3 4 c=3

，
所以抛物线的解析式为：y=-

3

8

x²-

3

4

x+3．
（2）抛物线的对称轴为直线x=-

- 3 4

2×(- 3 8 )

=-1，
设直线AC与对称轴的交点为E，易求直线AC的解析式为y=

3

4

x+3，
x=-1时，y=-

3

4

x+3=

9

4

，
AB=2-（-4）=6，OC=3，
△ACB的面积=

1

2

×6×3=9，
△ACD的面积=

1

2

DE•4=9，
解得DE=

9

2

，
点D在点E的上方时，点D的纵坐标为

9

4

+

9

2

=

27

4

，
点D在点E的下方时，点D的纵坐标为

9

4

-

9

2

=-

9

4

，
所以，点D的坐标为（-1，

27

4

）或（-1，-

9

4

）．
（3）如图，过A，B分别作x轴的垂线，这两条直线总是与直线l有交点，即两个点M₁和M₂，以AB为直径的⊙G如果与直线l相切，就只有一个点M，连接GM，那么GM⊥l，

∵在RT△EGM中，GM=3，GE=5，
∴EM=4，
在RT△EM₁A中，
∵AE=8，tan∠M₁EA=

M1A

AE

=

3

4

，
∴M₁A=6，
∴点M₁的坐标为（-4，6），过M₁，E的直线l为y=-

3

4

x+3，
根据对称性直线l还可以是y=

3

4

x+3．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识．