Question

15．已知n为整数，证明代数式$\frac{1}{4}$n⁴-$\frac{1}{2}$n³+$\frac{1}{4}$n²的值一定为整数．

Answer 1

分析 先将原代数式因式分解，然后根据连续整数的积是偶数，可得$\frac{n（n-1）}{2}$是整数，从而解决问题．

解答 证明：$\frac{1}{4}$n⁴-$\frac{1}{2}$n³+$\frac{1}{4}$n²，
=$\frac{1}{4}$n²（n²-2n+1），
=$\frac{1}{4}$n²（n-1）²．
=[$\frac{n（n-1）}{2}$]²．
∵n为整数，
∴n-1与n为连续整数，
∴n（n-1）是偶数，
∴$\frac{n（n-1）}{2}$是整数，
∴代数式$\frac{1}{4}$n⁴-$\frac{1}{2}$n³+$\frac{1}{4}$n²的值一定为整数．

点评 本题考查的是因式分解的应用，在解决问题的过程中，用到了“连续整数的积是偶数”这个结论，是解决本题的关键．