Question

已知二次函数y=ax²+bx+1的图象过点（1，0）和（x₁，0），且-2＜x₁＜-1，下列5个判断中，①b＜0；②b-a＜0；③a＞b-1；④a＜-

1

2

；⑤2a＜b+

1

2

，正确的是（　　）

• A、①③
• B、①②③
• C、①②③⑤
• D、①③④⑤

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：求得与y轴的交点坐标，根据与坐标轴的交点判断出a＜0，根据与x轴的交点判定-

1

2

＜-

b

2a

＜0，从而得出a、b的关系，把（-1，0），（-2，0）代入函数解析式求出a、b、c的关系式，然后对各小题分析判断即可得解．

解答：解：∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x₁，0），-2＜x₁＜-1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，
∵-2＜x₁＜-1，
∴-

1

2

＜-

b

2a

＜0，
∴b＜0，b＞a，故①正确，②错误；
∵当x=-1时，y＞0，
∴a-b+1＞0，
∴a＞b-1故③正确；
∵由一元二次方程根与系数的关系知x₁•x₂=

c

a

，
∴x₁=

1

a

，
∵-2＜x₁＜-1，
∴-2＜

1

a

＜-1，∴a＜-

1

2

，故④正确；
∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+1＜0，
∴2a＜b+

1

2

，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①③④⑤．
故选D，

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键．