Question

12．如图，已知抛物线y=mx²-6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l∥x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2$\sqrt{3}$，则MN的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据题意求出抛物线与x轴交点坐标，以及顶点坐标，进而得出m的值，再利用勾股定理得出M点纵坐标，即可得出MN的长．

解答 解：过点P作PH⊥MN于点H，连接EP，
∵y=mx²-6mx+5m=m（x-1）（x-5），
∴抛物线与x轴的交点坐标A（1，0），B（5，0），
∵y=mx²-6mx+5m=m（x-3）²-4m，
∴C（3，-4m），P（3，0），
故⊙P的半径为：4m，
则AP=4m，
可得：OP=3=1+4m，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴AP=EP=2，
∵PH⊥MN，
∴MH=HN=$\sqrt{3}$，
∴PH=1，
当y=1，则1=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-5），
整理得：x²-6x+3=0，
解得：x₁=3-$\sqrt{6}$，x₂=3+$\sqrt{6}$，
故MN=3+$\sqrt{6}$-（3-$\sqrt{6}$）=2$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和抛物线顶点坐标和抛物线与x轴交点求法等知识，得出m的值是解题关键．