Question

如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC，垂足为D．AC交⊙O于E，∠AOD=∠C
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD•AC=2OA²；
（3）若AE=8，tanA=

3

4

，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角和定理可以证明∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，则BC是圆的切线；
（2）首先证明△AOD∽△ACB，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得；
（3）在直角△BAE中利用三角函数求得BE的长，进而利用勾股定理求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数求得BC的长，利用勾股定理求得AC的长，根据EC=AC-AE即可求解．

解答：证明：（1）∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴∠ABC=∠ADO=90°，即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵在△AOD和△ACB中，∠A=∠A，∠AOD=∠C，
∴△AOD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AO

AC

，即

AD

2OA

=

OA

AC

，
∴AD•AC=2OA²；

（3）∵在直角△ABE中，tanA=

BE

AE

=

3

4

，
∴BE=AE×

3

4

=8×

3

4

=6，
则AB=

AE2+BE2

=

82+62

=10，
又∵在直角△ABC中，tanA=

BC

AB

=

3

4

，
∴BC=

3

4

AB=

3

4

×10=

15

2

，
AC=

AB2+BC2

=

100+ 225 4

=

25

2

，
∴EC=AC-AE=

25

2

-8=

9

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理以及相似三角形的判定与性质，勾股定理、三角函数，正确求得AB的长是关键．