Question

20．在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）点M（3，2）不是和谐点（填“是”或“不是”）；
（2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为±3；
（3）若（2）中和谐点P（a，6）在y=-4x+m上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到-4a+m=6，即m=4a+6，然后把a的值分别代入可计算出对应的m的值．

解答 解：（1）∵点M（3，2），
∴矩形OAPB的周长=2（3+2）=10，
面积=3×2=6，
∵10≠6，
∴则点M（3，2）不是和谐点；
故答案为：不是；
（2）根据题意得：2（|a|+6）=6|a|，
解得：a=±3；
故答案为：±3；
（3）∵点P（a，6）在直线y=-4x+m上，
∴-4a+m=6，即m=4a+6，
当a=3时，m=18；当a=-3时，m=-6，
∴m的值为18或-6．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．