Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，P是BC边上一动点，设BP=x，若能在AC边上找一点Q，使∠BQP=90°，则x的范围是6≤x≤8．

Answer 1

分析 先根据勾股定理计算出AC=10，由于∠BQP=90°，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆⊙M上，而点Q在AC上，则有AC与⊙M相切于点Q，连结MQ，如图，根据切线的性质得MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，然后证明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到$\frac{1}{2}$x：6=（8-$\frac{1}{2}$x）：10，最后解方程即可．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵∠BQP=90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连结MQ，如图，则MQ⊥AC，MQ=BM=$\frac{1}{2}$x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即$\frac{1}{2}$x：6=（8-$\frac{1}{2}$x）：10，
∴x=6．
当P与C重合时，BP=8，
∴BP=x的取值范围是：6≤x≤8，
故答案为：6≤x≤8．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．