Question

20．已知抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于C点．A在B的左侧，点M是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大？并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．
（2）点P（1，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，过点M作MH∥BC，交x轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的解析式求得A（-1，0），B（3，0），C（0，3），设M（m．-m²+2m+3），过M作MN⊥x轴于N，根据图形的面积即可得到结论；
（2）求得直线BC的解析式为y=-x+3，根据MH∥BC，得到MH的解析式为y=-x+2t，于是得到M（0，2t），H（2t，0），设直线MH交对称轴于G则G（1，2t-1），根据三角形的面积公式即可试试结论．

解答 解：（1）令y=0，则-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
设M（m．-m²+2m+3），
过M作MN⊥x轴于N，
则S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_梯形CONM+S_△BNM=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3-m²+2m+3）•m+$\frac{1}{2}$（3-m）（-m²+2m+3）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m+6，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴x=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{75}{8}$；
（2）∵B（3，0），C（0．-3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵MH∥BC，
∴MH的解析式为y=-x+2t，
∴M（0，2t），H（2t，0），设直线MH交对称轴于G则G（1，2t-1），
∴S_△PMH=S_△PMG+S_△PHG=$\frac{1}{2}$（2t-1+3）×1+$\frac{1}{2}$×（2t-1+3）×（2t-1）=2t²+2t，
当t=1.5时，S_最大=7.5．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，三角形面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．