Question

11．如图1，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，交x轴于点D
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在y轴的正半轴上有一点N，当∠ANB=45°，求点N的坐标；
（3）如图3，在y轴右侧的抛物线有一点P，当∠CDP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）先构造出图形，进而判断出∠AMB=90°，以点M为圆心MA为半径的与y轴的交点即是N，用MN=MA建立方程求解即可；
（3）先构造出图形，用角平分线定理建立方程求解即可．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=-x²-2x+3；
（2）如图2，∵抛物线的解析式y=-x²-x+3；
∴B（-3，0），
∵A（1，0），
∴AB=4，
在x轴上方抛物线的对称轴上，取一点M，使DM=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴∠AMB=90°，M（-1，2），
∴MA=2$\sqrt{2}$，
以点M为圆心，以MA为半径，作圆，与y轴正半轴相较于点N，即：∠AMB=45°，
∴MN=MA=2$\sqrt{2}$，
设点N（0，m）（m＞0），
∴$\sqrt{1+（m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴m=2+$\sqrt{7}$或m=2-$\sqrt{7}$（舍）
即：当∠ANB=45°时，N（0，2+$\sqrt{7}$）；
（3）如图3，∵D（-1，0），C（0，3），
∴直线CD的解析式为y=3x+3，
过点D作DE⊥CD交y轴于E，
∴直线DX的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∴E（0，-$\frac{1}{3}$），
∵∠CDP=45°，
∴DF是∠CDE的平分线，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EF}{CF}$，
设F（0，n），
∵C（0，3），
∴CF=3-n，EF=n+$\frac{1}{3}$，
∵D（-1，0），C（0，3），E（0，-$\frac{1}{3}$），
∴CD=$\sqrt{10}$，DE=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{10}}=\frac{n+\frac{1}{3}}{3-n}$，
∴n=$\frac{1}{2}$，
∴直线DF的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$①，
∵抛物线的解析式y=-x²-2x+3②；
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$，
或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-5-\sqrt{65}}{4}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$（舍）
∴点P的坐标（$\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$，$\frac{-1+\sqrt{65}}{8}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，直角三角形的性质和判定，角平分线定理，解本题的关键是构造出图形，也是解本题的难点．