Question

如图，以矩形ABCD的边AO，CO所在直线建立坐标系，已知点B的坐标为（-

3

，1），将矩形ABCO绕点O顺时针旋转至矩形DEFO位置，使点B恰好落在y轴上的点E处，设BC，DO的交点为Q．
（1）求点Q的坐标；
（2）若双曲线y=

k

x

（x＜0）经过点Q，那么它是否经过矩形ABCO的对称中心M？请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,矩形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）易证△OCQ∽△ODE，只需运用相似三角形的性质求出QC，就可解决问题；
（2）运用待定系数法可求出双曲线的解析式，然后只需求出点M的坐标，代入双曲线的解析式进行验证，就可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形ABCO是矩形，B（-

3

，1），
∴∠BAO=∠OCB=90°，AO=

3

，AB=1．
根据旋转的性质可得：
OD=OA=

3

，DE=AB=1，∠EDO=∠BAO=90°．
∵∠COQ=∠DOE，∠QCO=∠EDO=90°，
∴△OCQ∽△ODE，
∴

CQ

DE

=

OC

OD

，
∴

CQ

1

=

1

3

，
解得：CQ=

3

3

，
∴点Q的坐标为（-

3

3

，1）；

（2）双曲线y=

k

x

（x＜0）不经过矩形ABCO的对称中心M．
理由：∵双曲线y=

k

x

（x＜0）经过点Q，
∴k=-

3

3

×1=-

3

3

，
∴双曲线的解析式为y=-

3

3x

（x＜0）．
∵矩形ABCO的对称中心为M，∴点M是OB的中点．
∵B（-

3

，1），∴M（-

3

2

，

1

2

），
当x=-

3

2

时，y=-

3

3×(- 3 2 )

=

2

3

≠

1

2

，
∴点M不在双曲线y=-

3

3x

（x＜0）上．

点评：本题主要考查了用待定系数法求双曲线的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、旋转的性质、双曲线上点的坐标特征等知识，有一定的综合性，需要注意的是：根据线段长度求点的坐标时，要根据该点在坐标系中的位置确定横坐标（或纵坐标）的符号．