题目内容

如图，直线y=- $数学公式$ 交x轴于点B，过B作BC⊥x轴，双曲线y= $数学公式$ 过A、C两点（A点在已知直线上），若BC=BA，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：AE⊥x轴于E点，先确定B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），利用勾股定理计算出BD=5，设C点坐标可表示为（4， $\text{[math]}$ ），则AB=BC=- $\text{[math]}$ ，易证得△BOD∽△BEA，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，于是BE=- $\text{[math]}$ ，AE=- $\text{[math]}$ ，则A点坐标为（4- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），然后把A点坐标代入反比例函数解析式中得到关于k的方程，再解方程即可．
解答：如图，

AE⊥x轴于E点，
对于y=- $\text{[math]}$ ，令x=0，y=3；y=0，x=4，
∴B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），
∴BD= $\text{[math]}$ =5，
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为4，
∴C点坐标可表示为（4， $\text{[math]}$ ），即BC=- $\text{[math]}$ ，
∵AB=BC，
∴AB=- $\text{[math]}$ ，
∵OD∥AE，
∴△BOD∽△BEA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BE=- $\text{[math]}$ ，AE=- $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（4- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵A点在y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴（4- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ =k，
解得k= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．