某校计划在一块长为80米.宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．(1)如图1.将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道.如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半.求出此时通道的宽,中修建的长方形花圃中.要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域(两个圆形区域没有公共部分)来种植某种花卉.求出两个圆心距离的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

某校计划在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．
（1）如图1，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽；
（2）在（1）中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围．

分析（1）可设通道的宽是x米，根据通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，列出方程进行计算即可；
（2）设两圆圆形距为d，当两圆只有一个公共点时，d有最小值，当两圆分别与花圃的宽相切时，d有最大值，依此可求两个圆心距离的取值范围．

解答解：（1）设通道的宽是x米，依题意有
（40-2x）（80-2x）=$\frac{1}{2}$×80×40，
解得x₁=30+10$\sqrt{5}$（不合题意），x₂=30-10$\sqrt{5}$．
答：通道的宽是（30-10$\sqrt{5}$）米．
（2）∵40-2x=20$\sqrt{5}$-20，
∴圆形区域的半径为10$\sqrt{5}$-10，面积最大，
设两圆圆形距为d，当两圆只有一个公共点时，d有最小值，为20$\sqrt{5}$-20米，
当两圆分别与花圃的宽相切时，d有最大值，
d=80-2a-2r=80-2（30-10$\sqrt{5}$）-2（10$\sqrt{5}$-10）=40米，
∴两个圆心距离的取值范围是20$\sqrt{5}$-20＜d≤40．

点评本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

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