Question

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若EF=6，求EM．

Answer 1

分析 （1）能够根据已知条件证明四边形BCDE是平行四边形，从而得到DE∥BC，即可证明相似；
（2）根据相似三角形的性质求得相似比，即可求得线段的长．

解答 （1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点且AB=2CD，
∴BE=CD．
∵AB∥CD，
∴四边形BEDC是平行四边形．
∴DE∥BF．
∴∠EDM=∠FBM．
∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM；

（2）解：∵△EDM∽△FBM，四边形BEDC是平行四边形，
∴BF=$\frac{1}{2}$DE．
∵EF=6，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{EM}{MF}$=$\frac{EM}{6-EM}$=2，
∴EM=4．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．