题目内容

19．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+$\frac{x}{2}$）°°；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，p为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°；
（4）如图2，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…+∠An的数量关系：$\frac{1}{2}$（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）-（n-4）×90°（用含n的代表式表示）

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ADC+∠ACD=120°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠PDC+∠PCD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠ACD）=60°，
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=120°；
同理：如果∠A=90°，那么∠P=135°；
如果∠A=x°，则∠P=（90+$\frac{x}{2}$）°；
故答案为：120，135，（90+$\frac{x}{2}$）；

（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；

（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5-2）•180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（540°-∠A-∠B-∠E）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°，
故答案为：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E）-90°．

（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
故答案为：$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

（5）同（1）可得，∠P=$\frac{1}{2}$（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）-（n-4）×90°．
故答案为：$\frac{1}{2}$（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）-（n-4）×90°．

点评 此题属于四边形的综合题．此题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式．注意此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．

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