Question

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，当AP为何值时，四边形PBQD是菱形？

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）证△PDO≌△QBO，推出OP=OQ即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出DP=BP即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD的中点，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中

∠PDO=∠QBO DO=BO ∠POD=∠QOB

∴△PDO≌△QBO，
∴OP=OQ；

（2）解：当AP=

7

4

时，四边形PBQD是菱形，
理由是：∵AD=8，AP=

7

4

，
∴DP=8-

7

4

=

25

4

，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=

62+( 7 4 )2

=

25

4

=DP，
∵OP=OQ，OD=OB，
∴四边形PBQD是菱形，
即当AP=

7

4

时，四边形PBQD是菱形．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．