Question

16．如图，△ABC中，∠A=α，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=90°+$\frac{α}{2}$，若BM、CM分别为∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M=90°-$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 由∠A=α，三角形内角和等于180°，可得∠ABC+∠ACB=180°-α，又因为BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}（180°-α）$=90°$-\frac{α}{2}$，又因为∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，从而可以求得∠BIC的值；由BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，BM、CM分别为∠ABC，∠ACB的外角平分线，可得∠IBM=∠IBC=90°，则∠BIC+∠M=180°，从而求得∠M的值．

解答 解：∵∠A=α，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α．
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}（180°-α）$=90°$-\frac{α}{2}$．
∵∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=90°+$\frac{α}{2}$．
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，BM、CM分别为∠ABC，∠ACB的外角平分线，
∴∠IBM=∠IBC=90°．
∴∠BIC+∠M=180°．
∵∠BIC=90°+$\frac{α}{2}$，
∴∠M=90°-$\frac{α}{2}$．
故答案为：90°+$\frac{α}{2}$，90°-$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内角和、角平分线的性质、三角形的外角的性质，关键是运用知识灵活变化，进而求出问题的答案．