Question

19．如图，已知点A、P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x-3的图象上，点B的纵坐标为-1，AB⊥x轴，且S_△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由点B在直线y=x-3的图象上，点B的纵坐标为-1，将y=-1代入y=x-3，求出x=2，即B（2，-1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S_△OAB=4列出方程$\frac{1}{2}$（-1-t）×2=4，求出t=-5，得到点A的坐标为（2，-5）；将点A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（-m，n），由点P（m，n）在反比例函数y=-$\frac{10}{x}$的图象上，点Q在直线y=x-3的图象上，得出mn=-10，m+n=-3，再将$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$变形为$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$，代入数据计算即可．

解答 解：（1）∵点B在直线y=x-3的图象上，点B的纵坐标为-1，
∴当y=-1时，x-3=-1，解得x=2，
∴B（2，-1）．
设点A的坐标为（2，t），则t＜-1，AB=-1-t．
∵S_△OAB=4，
∴$\frac{1}{2}$（-1-t）×2=4，
解得t=-5，
∴点A的坐标为（2，-5）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，
∴-5=$\frac{k}{2}$，解得k=-10；

（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），
∴Q（-m，n），
∵点P在反比例函数y=-$\frac{10}{x}$的图象上，点Q在直线y=x-3的图象上，
∴n=-$\frac{10}{m}$，n=-m-3，
∴mn=-10，m+n=-3，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{（-3）^{2}-2×（-10）}{-10}$=-$\frac{29}{10}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=-10，m+n=-3是解决第（2）小题的关键．