旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解(证)有关等腰三角形.正三角形.正方形等问题时.更是经常用到的思维方法.请你用旋转交换等知识.解决下面的问题．如图1.△ABC与△DCE均为等腰直角三角形.DC与AB交于点M.CE与AB交于点N．(1)以点C为中心.将△ACM逆时针旋转90°.画出旋转后的△A′CM′的基础上.证明AM2+BN2=MN2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM²+BN²=MN²．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）

分析（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．

解答解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：

（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
∵CN=CN，
在△MCN与△M'CN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM'}\\{∠MCN=∠M'CN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在RT△BM'N中，根据勾股定理得：M'N²=BN²+BM'²，
∴MN²=AM²+BN²；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，

则△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，
∵∠C'=∠ACB=45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD'}\\{∠D'AB=∠DAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB=D'B，
在RT△BCD'中，
∵BC=4，CD=3，
∴DB=5，
∴CC'=12，
∴AC=6$\sqrt{2}$．