Question

14．如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠CAB和∠CBA，相交于点D．
（1）如图1，过点D作DE∥AC，DF∥BC分别交AB于点E、F．
①若∠EDF=80°，则∠C=80°；
②若∠EDF=x°，证明：∠ADB=（90+$\frac{x}{2}$）°．
（2）如图2，若DE，BE分别平分∠ADB和∠ABD，且EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE至少是多少度？

Answer 1

分析 （1）①先根据三角形的内角和求得：∠DEF+∠EDF=100°，再由平行线的性质得：∠BED=∠BAC，∠EFD=∠ABC，所以∠C=180°-100°=80°；
②同理先求出∠DEF+∠EFD=180°-x°，由平行线的性质和角平分线的定义得：∠DEF=2∠BAD，同理得：∠EFD=2∠ABD，则∠BAD+∠ABD=$\frac{180°-x°}{2}$，再由三角形内角和可求得结论；
（2）依据②的结论得：∠ADB=（90+$\frac{x}{2}$）°，则∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°+$\frac{x}{4}$，由三角形的内角和定理得：∠BED+∠DBE=180°-∠BDE，再由角平分线定义得：$\frac{1}{2}$∠BED+$\frac{1}{2}$∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$∠BDE，代入∠BFE=180°-（∠BEF+∠EBF），可得结论．

解答 解：（1）∵∠EDF=80°，
∴∠DEF+∠EDF=180°-80°=100°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
同理得：∠EFD=∠ABC，
∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°，
∴∠C=80°
故答案为：80°；
②∵∠EDF=x°，
∴∠DEF+∠EFD=180°-x°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠DEF=2∠BAD，
同理得：∠EFD=2∠ABD，
∴∠BAD+∠ABD=$\frac{180°-x°}{2}$，
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=180°-$\frac{180°-x°}{2}$=90°+$\frac{x°}{2}$=（90+$\frac{x}{2}$）°；     
（2）∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°+$\frac{x}{4}$，
∵∠BED+∠DBE=180°-∠BDE，
∵EF，BF分别平分∠BED和∠EBD，
∴$\frac{1}{2}$∠BED+$\frac{1}{2}$∠DBE=90°-$\frac{1}{2}$∠BDE，
即∠BEF+∠EBF=90°-$\frac{1}{2}$∠BDE，
∴∠BFE=180°-（∠BEF+∠EBF），
=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BDE），
=90°+$\frac{1}{2}$∠BDE，
=90°+$\frac{1}{2}$（45°+$\frac{x}{4}$），
=90°+22°+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}x$，
=112°+$\frac{4+x}{8}$，
∵∠BFE的度数是整数，
当x=4时，∠BFE=113°．
答：∠BFE至少是113度．

点评 本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，比较复杂；依次理清角和角之间的关系是关键；注意三角形的内角和外角的区别．