Question

8．已知二次函数y=x²-2mx+m²+m+1的图象与x轴交于A、B两点，点C为顶点．
（1）求m的取值范围；
（2）若将二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D，若CD=8．求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4m²-4（m²+m+1）=-4m-4＞0，然后解不等式即可；
（2）先配方得到y=（x-m） ²+m+1，则顶点的纵坐标为m+1，利用C点和D点关于x轴对称得到m+1=-4，解得m=-5，所以y=x²+10 x+21，然后解方程x²+10 x+21=0得到A（-3，0），B（-7，0），再利用三角形面积公式计算四边形ACBD的面积．

解答 解：（1）∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△=4m²-4（m²+m+1）=-4m-4＞0，
∴m＜-1；

（2）y=x²-2m x+m²+m+1=（x-m） ²+m+1，
∵CD=8，
∴m+1=-4，解得m=-5，
∴y=x²+10 x+21，
令y=0，x²+10 x+21=0，解得x₁=-3，x₂=-7，则A（-3，0），B（-7，0）
∴AB=4，
∴S_{四边形ACBD}=2×$\frac{1}{2}$×4×4=16．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax²+bx+c=0．