Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE=ED，

CB

=

DB

，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO=∠BCD．
（2）由勾股定理可求得BC的长，易证得△CBE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得⊙O的直径．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，

CB

=

DB

，
∴∠BCD=∠BAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD；

（2）解：∵CE=ED=4，
方法一：在Rt△BCE中，BC=

CE2+BE2

=5．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BEC=90°．
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC，
∴

BC

BE

=

AB

BC

．
∴AB=2R=

25

3

．

方法二：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-3
在Rt△CEO中，由勾股定理可：OC²=OE²+CE²，
即：R²=（R-3）²+4²，
解得 R=

25

6

，
∴2R=2×

25

6

=

25

3

．
答：⊙O的直径为

25

3

．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．