(1)学完全等三角形以后.老师布置了这样一道题:如图1.点M.N分别在等边△ABC的BC.CA边上.且BM=CN.AM.BN交于点Q．试说明:∠BQM=60°．(2)小丽做完后.进行了反思.提出了许多问题.如图2:①若将题中“BM=CN 与“∠BQM=60° 的位置交换.得到的是否仍是真命题?②如图3若将题中的点M.N分别移动到BC.CA的延长线上.是否仍能得到∠BQM=60°?� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）学完全等三角形以后，老师布置了这样一道题：如图1，点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．试说明：∠BQM=60°．
（2）小丽做完后，进行了反思，提出了许多问题，如图2：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②如图3若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的BC、CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①

；②

；③

．并对上述②、③选择一个给出证明．（注意：等边三角形每条边都相等，每个内角都是60°．希望每个同学都像小丽一样爱动脑，你一定会越来越聪明哦！）

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个角相等，三条边相等，利用SAS得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）①是真命题，条件与结论交换后，先利用两对角相等的三角形相似得到三角形BMQ与三角形ABM相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；②是真命题，利用外角的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等式的性质变形即可得证；③否真命题，利用HL得到直角三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AMB=∠BNC，根据直角三角形BNC中两锐角互余，利用等量代换及垂直的定义判断得到∠BQM=90°．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，

BM=CN

∠ABM=∠BCN

AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；
（2）①是；②是；③否；
若选择①，已知：∠BQM=60°，
求证：BM=CN，
证明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，
∴△BMQ∽△AMB，
∴∠CBN=∠BAM，
在△ABM和△BCN中，

∠BAM=∠CBN

AB=BC

∠ABM=∠BCN

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
若选择②，证明：如图，
在△ACM和△BAN中，

CM=AN

∠ACM=∠BAN=120°

AC=AB

，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
若选择③，证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，

BM=CN

AB=BC

，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），
∴∠AMB=∠BNC，
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
则∠BQM=90°．
故答案为：①是；②是；③否．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．