Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，AM为斜边上的中线，点D为边AB上一动点（点D不与A，B重合），连接CD，交AM于点E，过点A作AN⊥CD，垂足为N，连接MN

（1）求AM的值；
（2）当点E为AM中点时，求$\frac{AN}{MN}$的值；
（3）点D运动的过程中，△AMN的面积是否有最大值？若有，请求出最大值，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
（2）如图1中，作NH⊥AM于H．利用△ANE∽△CME，可得$\frac{AN}{CM}$=$\frac{AE}{EC}$，△ANH∽△CEM，可得$\frac{AN}{EC}$=$\frac{AH}{CM}$=$\frac{HN}{EM}$，求出相关线段即可解决问题．
（3）如图2中，取AC的中点O，连接ON交AM于H．由△ANC，△AMC是直角三角形，OA=OC，推出ON=OA=OC=OM，推出A、N、M、C四点共圆，推出当ON⊥AM时，点N到AM的距离最大，此时△AMN的面积最大，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4，
∵AM是斜边上的中线，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=2．

（2）如图1中，作NH⊥AM于H．

∵AE=EM=1，CM=2，
在Rt△CEM中，CE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠AEN=∠CEM，∠ANE=∠EMC，
∴△ANE∽△CME，
∴$\frac{AN}{CM}$=$\frac{AE}{EC}$，
∴AN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵△ANH∽△CEM，
∴$\frac{AN}{EC}$=$\frac{AH}{CM}$=$\frac{HN}{EM}$，
∴$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{AH}{2}$=$\frac{HN}{1}$，
∴AH=$\frac{4}{5}$，NH=$\frac{2}{5}$，
∴MH=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{N{H}^{2}+H{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴$\frac{AN}{NM}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{10}}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如图2中，取AC的中点O，连接ON交AM于H．

∵△ANC，△AMC是直角三角形，OA=OC，
∴ON=OA=OC=OM，
∴A、N、M、C四点共圆，
∴当ON⊥AM时，点N到AM的距离最大，此时△AMN的面积最大，
最大面积=$\frac{1}{2}$•AM•NH=$\frac{1}{2}$•2•（$\sqrt{2}$-1）=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．