Question

10．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB=1：3，设$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow b$．
（1）用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$分别表示下列向量：
$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{b}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{EG}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{16}{21}$$\overrightarrow{a}$；
（2）在图中求作向量$\overrightarrow{BG}$分别在$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）

Answer 1

分析 （1）根据AE=$\frac{1}{3}$BA即可求出$\overrightarrow{AE}$，根据$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$即可求出$\overrightarrow{EC}$，先证明EG=$\frac{4}{7}$EC，即可求出$\overrightarrow{EG}$
（2）首先过点G作GM∥AB，NN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，AE=$\frac{1}{3}$BA，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{BC}$，EB=-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{b}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$，
∵CD∥EB，
∴EG：CG=EB：CD=4：3，
∴EG：EC=4：7，
∴$\overrightarrow{EG}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{16}{21}$$\overrightarrow{a}$，
故答案分别为$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{16}{21}$$\overrightarrow{a}$．

（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量$\overrightarrow{BN}$、$\overrightarrow{BM}$是向量$\overrightarrow{BG}$分别在$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$方向上的分向量．

点评 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．