Question

如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．
（1）求证：CD是小半圆M的切线；
（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD²=y．
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,切线的判定,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：代数几何综合题

分析：（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD²=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到-x²+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．

解答：解：（1）连接CO、CM，如图1所示．
∵AO是小半圆M的直径，
∴∠ACO=90°即CO⊥AP．
∵OA=OP，
∴AC=PC．
∵AM=OM，
∴CM∥PO．
∴∠MCD=∠PDC．
∵CD⊥OP，
∴∠PDC=90°．
∴∠MCD=90°即CD⊥CM．
∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，
∴直线CD是小半圆M的切线．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，
∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．
∴∠OCD=90°-∠DCP=∠P．
∴△ODC∽△CDP．
∴

CD

DP

=

OD

CD

．
∴CD²=DP•OD．
∵PD=x，CD²=y，OP=

1

2

AB=4，
∴y=x（4-x）=-x²+4x．
当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；
∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），
∴0＜x＜4．
∴y与x之间的函数关系式为y=-x²+4x，
自变量x的取值范围是0＜x＜4．

②当y=3时，-x²+4x=3．
解得：x₁=1，x₂=3．
Ⅰ．当x=1时，如图2所示．
在Rt△CDP中，
∵PD=1，CD=

3

．
∴tan∠CPD=

CD

PD

=

3

，
∴∠CPD=60°．
∵OA=OP，
∴△OAP是等边三角形．
∵AM=OM，
∴PM⊥AO．
∴PM=

PO2-MO2

=

42-22

=2

3

．
Ⅱ．当x=3时，如图3所示．
同理可得：∠CPD=30°．
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO=30°．
∴∠POB=60°
过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．
∵sin∠POH=

PH

OP

=

PH

4

=

3

2

，
∴PH=2

3

．
同理：OH=2．
在Rt△MHP中，
∵MH=4，PH=2

3

，
∴PM=

MH2+PH2

=

42+(2 3 )2

=2

7

．
综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2

3

或2

7

．

点评：本题考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．