Question

20．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或　a²+2ab+b²
∴（a+b）² =a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³=6²．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

Answer 1

分析 （1）尝试解决：如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a²-b²，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
（2）尝试解决：如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出1³+2³+3³=6²；
（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，进一步化简即可．

解答 解：（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a²-b²，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a²-b²=（a+b）（a-b），
这就验证了平方差公式；


（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=1³；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=3³；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：1³+2³+3³=（1+2+3）²=6²；
故答案为：6²；


（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²，
又∵1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．
故答案为：[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．

点评 此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．